When we encountered the one point-compacficitation in the undergraduate topology, we showed that the Riemann sphere $\mathbb{C}\cup \{\infty \}$ is homeomorphicto $\mathbb{S}^2$. 


학부 위상시간에, 우린 one-point compactfication을 배우면서 extended complex plane $\mathbb{C}\cup \{\infty \}$ 이 sphere $\mathbb{S}^2$랑 homeomorphic하단걸 배웁니다. 


In this view point,  $\mathbb{C}\cup \{\infty \}$ is called by the Riemann sphere. 

이런 관점에서, extended complex plane $\mathbb{C}\cup \{\infty \}$는 Riemann sphere 라는 또 다른 명칭으로 불립니다. 


Now, some of you may have the following question. "The sphere $\mathbb{S}^2$ is a differentiable 2-dimensional manifold and 

the topological manifold $\mathbb{C} \cup \{\infty \}$ is homeomorphic to  $\mathbb{S}^2$. 

Then, can we take a differentiable charts on $\mathbb{C} \cup \{\infty \}$? Moreover,  Is it can be diffeomorphic to $\mathbb{S}^2$ ? "

  

그러면, 몇몇 분들은 분명, 다음과 같은 의문을 가질수 있습니다. " Riemann sphere와 sphere는 분명 homeomorphic한데, 

sphere는 differentiable manifold까지 된다. 그러면 topological manifold인 Riemann sphere는 differentiable manifold도 되나? 

더 나아가서 둘 사이엔  diffeomorphism이 존재하나? " 


In conclusion, It is possible. We will check this fact. 


가능합니다. 지금부터 정말 그런지, 한번 따져보겠습니다. 


Caution!) In here, $\mathbb{C}$ is an $\mathbb{R}^2$ by identifying $z=x+iy=(x,y)$ 

and considering the complex-multiplicative structure.  In other words, $\mathbb{C}$ is 2-dimensional vector space

on $\mathbb{R}$. 


여기서  $\mathbb{C}$는 $\mathbb{R}^2$위에서 모든 point $(x,y)$를 complex number인 $z=x+iy$로 identify시키고, 

complex-multiplicative structure를 추가시킨것으로 생각하겠습니다. 즉 $\mathbb{C}$는 $\mathbb{R}$위에서 정의되는 

2-dimensional vector space로 간주합니다.



Sketch of proof) Before the strict process, let's think the big picture. 

엄밀한 과정을 진행하기전에, big picture를 생각해봅시다. 


1. Take charts with the differentiable transition on $\mathbb{C}\cup \{\infty \} $. 

This will show that the Riemann sphere is the differentiable manifold. As you know, we have a trouble

at $\infty$. So, we should avoid that point by considering intersections of images of charts. 

For that, decompose the Riemann sphere as follows. 

$\mathbb{C} \cup \{\infty \}=\mathbb{C} \cup ((\mathbb{C}\backslash \{0 \} ) \cup \{\infty \})$. 


smooth transition을 갖는 chart를 Riemann sphere위에 세팅하면됩니다. 그러면 

Differentiable manifold인지 보일수 있죠. 다들 아시겠지만, transition이 chart의 image들의 intersection에서만  

작동되는 것을 이용해서, 트러블이 발생하는 점인  $\infty$를 피해야 합니다. 

그 작업을 하기위해서, 일단 Riemann sphere를 다음과 같이 분해시켜봅니다. 


$\mathbb{C} \cup \{\infty \}=\mathbb{C} \cup ((\mathbb{C}\backslash \{0 \} ) \cup \{\infty \})$. 



On $U_1\equiv \mathbb{C}$, we have a trivial bijection $\varphi_1$ as an identity $\displaystyle{ \varphi_1 = id_{\mathbb{C}} }$

On $U_2\equiv ((\mathbb{C}\backslash \{0 \} ) \cup \{\infty \})$, we can define a bijection $\varphi_2$ as follows.  

$\displaystyle{ \varphi_2 (z)=\begin{cases} ~~\frac{1}{z}~~~~\rm{if}~z\neq \infty \\ ~~~0~~~~~~~\rm{otherwise} \end{cases} }$


Actually, this idea is little difficult. Above bijections will be charts that we want. 

사실 이 아이디어가 생각해내기 좀 까다롭고요. 위의 bijection들이 우리가 원하는 chart가 될것입니다.  


2. Maybe this process is little boring since we just need to check that the usual 

hoemomorphism for the one-point compactification is the diffeomorphism by computations. 

(If you can't understand this logic, please consider the stereographic mapping.)


사실 2번과정은 약간 지루할수 있습니다. 단지 우리가 알고 있는, Riemann sphere랑 Sphere간에 

one-point compacficitation을 위해서, 잡아낸 homeomorphism이 diffeomorphism까지 되는지 

계산으로 check하면 됩니다. 


(잘 모르시겠다면, stereographic mapping이라는걸 찾아보시기 바랍니다.)


Proof) Now, we check above sketch rigorously. Since you can check the restrict process for the 2nd part by imitating the 1st process,  

that is skipped. 


자 이제 엄격히, 위의 big picture를 따져봅시다. 두번째 과정은 첫번째 과정을 따라 하면 되므로 생략합니다. 


1. Clearly, above $U_1 , U_2$ are open in $\mathbb{C}\cup \{\infty \}$. Also, $\displaystyle{ (\varphi_j , U_j )}$'s are charts that cover the Riemann sphere. 

Now, consider intersections.

명백하게, $U_1 , U_2$는 Riemann sphere에서 open이고 $\displaystyle{ (\varphi_j , U_j )}$들은 분명 Riemann sphere를 cover하는 chart들이 됩니다.

 이제, intersection을 따져봐야겠죠? 

 

$\displaystyle{U_1 \cap U_2= \mathbb{C} \cap ((\mathbb{C}\backslash \{0 \} ) \cup \{\infty \}) =\mathbb{C}\backslash \{0 \}  }$. 

$\displaystyle{  \varphi_1 (U_1 \cap U_2) = id_{\mathbb{C} }  (\mathbb{C}\backslash \{0 \} ) =   \mathbb{C}\backslash \{0 \}=\varphi_2  (\mathbb{C}\backslash \{0 \} )=\varphi_2 (U_1 \cap U_2) }$ .


$\displaystyle{  \varphi_1 \cdot {\varphi_2}^{-1} (z)=\frac{1}{z}=  \varphi_2 \cdot {\varphi_1}^{-1} (z)   } $ on $ \displaystyle{  \varphi_2 (U_1 \cap U_2)  = \varphi_1 (U_1 \cap U_2)=\mathbb{C}\backslash \{0 \}   }$. 


As above transitions are smooth in the sense of $\mathbb{R}$, we are done. $\square$

위의 transition들이 모두 $\mathbb{R}$ 센스에서 smooth 하기때문에, 여기서 확인작업은 끝납니다. 


2. We leave the hint for someone who want techniques. Please do it yourself. 

이 과정은 힌트를 드립니다. 직접해보세요. 

Hint) First, delete the north pole $\mathbf{N}=(0,0,1)$ and use stereographic mapping.

Second, delete the south pole $\mathbf{S}=(0,0,-1)$ and imitate above process. 

You will get two charts that cover $\mathbb{S}^2$. $\square$


처음에는 North pole을 제거하고,  stereographic mapping으로 chart를 만듭니다. 

두번째는 비슷하게, South pole 제거하고 비슷하게 chart 만듭니다. 


이 chart들은 $\mathbb{S}^2$를 cover합니다.  


(*) 조만간 위의 수식을 pdf로 옮겨서 파일을 올리겠습니다. 


Posted by 뒤룩CAT뒤룩

방문일자 : 2018/01/23 점심

총평 및 레벨 : A(-) 


전에 닭갈비 집 포스팅에 써놓았듯이, 신촌에는 "닭"을 다루는 음식점이 많습니다. 

오늘 간곳은 그 중에서, 닭도리탕을 전문적으로 다루는 체인점입니다. 


이 집이 약간 선술집 스타일이라서, 저녁시간대에 보통 사람들이 붐비고 점심시간대에는 

약간 한산한 편입니다. 사람 붐비는거 싫어하시는 분들은, 점심시간대에 가시길 추천드립니다.  


닭도리탕 말고도, 파전이나 도토리묵, 감자전 도 파니깐 식사에 술 곁들이시는 분들은 딱 좋아하실 스타일입니다. 

오늘은 아는 두분이랑 같이 식사를 했습니다. 여기에 점심특선이라고 따로 팔긴하는데, 혼밥이 될지는 모르겠습니다. 

(이건 다음에 갈때, 물어봐야겠네요.) 


위치정보는 다음과 같습니다. 



※ 창서초 바로 옆에 있는 곳인데, 희안하게 네이버지도로 치면 검색이 안됩니다. 

지도 검색하시면서 갈꺼면, 다음지도를 쓰세요. 


가격은 다음과 같습니다. 



Review : 닭볶음탕 대자 + 떡사리추가 + 볶음밥 2개로 주문했습니다. 



밑반찬 : 무생채, 콩나물 무침, 김치, 김, 오뎅볶음 요렇게 나왔네요.

오뎅볶음이 특히 따뜻해서 맛있었습니다. 맛이 깔끔한 편입니다. 


닭볶음탕 : 메인인 닭볶음탕이, 밑반찬이 깔리고나서 몇분이 지난후에 나왔습니다. 매운맛이 꽤 쏀 편인데, 

그렇다고 불닭볶음처럼 접근불가 수준은 아닙니다. 맛있는 매운맛이에요. 닭살도 쫄깃쫄깃합니다. 애초에 

세팅이 될때, 미리 닭이 익혀져서 나오는데, 끓기시작하면 바로 먹으면 됩니다. 간이 조금 쎈편이라 호불호가 

갈릴수 있습니다. 


떡사리가 추가되서 끓고 있는 모습입니다. (다음에 올땐, 당면사리도 시켜봐야겠습니다.) 


탱글탱글 닭살 위꼴공격!  


....는 Fail... 오늘 사진이 많이 흔들렸네요.. 먹느라 정신이 없어서... 


볶음밥 : 남은 국물에 밥을 볶아서, 마지막으로 볶음밥을 먹었습니다. 

간이 적절한 편입니다.  


(#) 아쉬웠던 점 : 볶음밥이 나와서 맛을 볼때, 일행중 한분이 드신 부분이 설익게 나왔습니다. 물론 시간이 좀

지나고나서는 다 익었지만요. 다음에 밥을 볶아서, 세팅될때는 시간좀 더 걸리도라도 쌀이 충분히 익혀서 나왔으면

좋겠습니다. 그리고 그릇 양쪽이 전부 쇠인데, 열전도가 잘 안되는 부분으로 손잡이를 잘 감싸줬으면 좋겠네요. 

제 실수긴 하지만, 그릇이 엄청 뜨거워서 먹는와중에 손을 데일뻔했습니다. 그리고 더 아쉬운건, 닭도리탕에 쓰여진 

감자의 질이 좋은편은 아닌거 같습니다. 감자를 먹을때, 물러진 무조림 맛이 나더라고요. 요리에 들어가는 감자 종류를

좀 바꾸면 어떨가 싶습니다. 맛만 따지면 A(0)까지 올라갈수 있습니다. 





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서울 서대문구 창천동 57-6 2층 | 정정아식당 신촌직영점
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Posted by 뒤룩CAT뒤룩

방문일자 : 2018/01/18 점심

총평 및 레벨 : B(+) 


신촌 세브란스 대학병원에서 옆에 골목 근처로 빠지면, 이화여대 생활상권인 대현동쪽이 나오는데,  

여기도 음식점이 몇 군데 있습니다. 오늘 포스팅 하는 곳은, 거기에 있는 삼진식당이라는 곳입니다. 

식사시간에 근처에 직장인들이 꽤 오기도 하고, 이화여대 학생들도 가끔 오는거로 보이네요. 


제육볶음, 알탕, 김치찌개, 순두부찌개 같은걸 파는 대학가의 흔한 분식점이고, 가성비가 꽤 좋은 편입니다. 

맛도 만족스럽고요. 다른 블로그 포스팅이나 리뷰를 보면 보통 제육볶음이랑 순두부찌개가 많이 나가는 편입니다. 


위치정보는 다음과 같습니다. 


위치가 처음 찾기 좀 어려운데, 신촌 세브란스 옆 골목안으로 들어가서,  

함평면옥이라는 식당이란 같은 건물에 있습니다. 바로 옆에 삼대천왕 방송탄 효동각이라는 짜장면집도 있고요. 

혼밥하기에도 좋은 식당입니다. 

  


방문후기 및 음식 설명 : 가기전에 몇번 검색해봤더니, 알탕이 꽤나 푸짐하게 나오길래, 

가서 알탕으로 시켰습니다. 가격은 7000원이고요. 식사류가 싼건 5000원부터 시작합니다.  


Review : 주문하고 기다린지 한 6~7분 지났을때, 기본반찬이랑 같이 뚝배기에 알탕이 담겨서 나왔습니다. 

뚝배기에 담긴 내용물이 워낙 많아서, 처음에 나올때는 국물이 끓어넘쳤습니다(.....) 

뚝배기 옆에 고추가루들 묻은게 보이실텐데, 그게 국물이 끓어넘치고 남은 흔적입니다.  


같이 나온 기본 반찬인데, 청포묵 김치 두종류, 시금치 나물, 김치전입니다. 반찬이 차갑지는 않은데 

미지근 했습니다. 전 반찬이 너무 뜨거우면 먹기 힘든데, 제 스타일이네요. 반찬들이 기본적으로 살짝 짭잘한 

편이라서, 짠거 안좋아하시는분들은 미리 유념하고 드셔야 할거 같습니다. 


알탕이 너무 뜨거워서 좀 식히고, 반찬이랑 같이 다시 찍은 사진입니다.  사진보시면 아시겠지만 7000원인데 

알을 엄청 많이 주십니다. 미나리랑 콩나물도 많이 들어가서, 국물도 시원합니다. 제 입맛이 둔감할지도 모르는데

조미료는 많이 안쓰시는거 같습니다. 


위의 사진이 다가 아니고, 국물속에도 알이 또 있습니다. (수북수북...) 


토실토실한 녀석으로 위꼴샷!  


(#) 아쉬웠던 점 :  일단 여기 위치가 세브란스 옆 동네, 내부라서 찾기 좀 어렵습니다. 

특히나 건물 내부에 있는 식당이라, 겉으로는 보이지 않고요. 

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서울 서대문구 대신동 85-1 | 삼진식당
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Posted by 뒤룩CAT뒤룩